Un breve paso por los logaritmos

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Definición

Dónde a es la base del logaritmo ( a>0 )

           b es el argumento del logaritmo

           c es el logaritmo en base a de b

Ejemplos

Notación: A menudo usamos logaritmos utilizando solamente las bases decimal (a=10) y natural (a=e 2,71828.... que es el número de Euler)

De hecho en la mayoría de las calculadoras que usamos habitualmente sólo se utilizan estas bases. Por economía de notación se hace caso omiso de las bases cuando trabajamos con logaritmos decimales o naturales (también llamados neperianos).

Por lo tanto:

  Notación que se utiliza en las calculadoras

En Matemática, el logaritmo es la función inversa de la función potencia x = bⁿ, que permite obtener n. Esta función se escribe como n = log_b x. Es el exponente o potencia a la que un número fijo, llamado base, se ha de elevar para dar un número dado. Por ejemplo, en la expresión 10² = 100, el logaritmo de 100 en base 10 es 2. Esto se escribe como log₁₀ 100 = 2.

Por ejemplo:

3⁴ = 81

El logaritmo es una de tres funciones relacionadas entre sí: en bⁿ = x, b puede ser encontrado con radicales, n con logaritmos y x con exponenciación. Se denomina logaritmo neperiano o logaritmo natural (ln) al logaritmo en base e de un número.

Uso de logaritmos

La función log_b(x) está definida dondequiera que x es un número real positivo y b es un número real positivo diferente a 1.

Para enteros b y x, el número log_b(x) es irracional (no puede representarse como el cociente de dos enteros) si b o x tiene un factor primo que el otro no tiene.

Bases

Son comunes los logaritmos en base e (logaritmo neperiano), base 10 (logaritmo común), base 2 (logaritmo binario), o en base indefinida (logaritmo indefinido).

 Logaritmos en otras bases

La elección de un determinado número como base de los logaritmos no es crucial, debido a que se pueden hacer conversiones de una base a otra de forma sencilla. Para ello, es útil la siguiente fórmula que define al logaritmo de x en base b (suponiendo que b, x, y k son números reales positivos y que tanto "b" como "k" son diferentes de 1):

en la que "k" es cualquier base válida. Si hacemos k=x, obtendremos:

En la práctica, se emplea el logaritmo decimal, que se indica como , en ciencias que hacen uso de las matemáticas, como la química en la medida de la acidez (denominada pH) y en física en magnitudes como la medida de la luminosidad (candela), del sonido (dB), de la energía de un terremoto (escala de Richter), etc. En informática se usa el logaritmo en base 2 la mayoría de veces. Las propiedades de los logaritmos son una base que facilita aún más su resolución.

Logaritmo natural

En cálculo se llama logaritmo natural o logaritmo neperiano a la primitiva de la función:
que toma el valor 0 cuando la variable x es igual a 1, es decir:

para x > 0.

También se llama así al logaritmo obtenido tomando como base el valor del número trascendental "e" (aproximadamente igual a 2,718 281 828...).

La función logaritmo natural es la inversa de la función exponencial: .

Deducción

La derivada de la función es . Al dividir ambos lados de la expresión por "n" y observar el resultado, se puede afirmar que una primitiva de es (con m = n - 1).

Este cálculo obviamente no es válido cuando m = - 1, porque no se puede dividir por cero. Por lo tanto, la función inversa 1/x es la única función "potencia" que no tiene una primitiva "potencia". Pero esta función es continua sobre el rango (0; + ∞) lo que implica que tiene forzosamente una primitiva en este intervalo, y también sobre ( - ∞ ; 0).

En resumen: , y .

La función es estrictamente creciente pues su derivada es estrictamente positiva, y tiene límites infinitos en 0⁺ y en + ∞.

La tangente T_e que pasa por el punto de abscisa e de la curva, pasa también por el origen. La tangente T₁ que pasa por el punto de abscisa 1 de la curva, tiene como ecuación: y = x - 1.
La derivada de segundo orden es ln"(x) = -1 / x², siempre negativa, por lo tanto la función es cóncava, es decir que todas las tangentes pasan por encima de la curva. Es lo que se constata con T₁ y T_e.

Propiedad fundamental

La denominada propiedad fundamental, definida por:

(1) (con a>0 y b>0)

fue la que permitió construir las primeras tablas de logaritmos, cuyo propósito era hacer que calcular un producto fuese tan rápido como hallar una suma. En efecto, para calcular un producto se buscaban en la tabla los logaritmos de los factores, se sumaban, y se buscaba el número cuyo logaritmo se aproximaba más a la expresión ln a + ln b. La hoy desaparecida regla de cálculo utilizaba el mismo proceso.

 Prueba: Sea f(x) = ln (ax) - ln x. Derivando: f'(x) = a·(1/ax) - 1/x = 1/x - 1/x = 0, lo que significa que f es constante en el intervalo (0, + ∞). En consecuencia f(b) = f(1), es decir: ln ab - ln b = ln a -ln 1, o sea ln ab = ln a + ln b.

Consecuencias:

ln (1/a) = - ln a. (2)

En efecto, ln(a) + ln (1/a) = ln (a· 1/a) = ln 1 = 0.

ln (a/b) = ln a - ln b. (3)

En efecto ln (a/b) = ln (a·1/b) = ln a + ln (1/b) = ln a - ln b.

ln (aⁿ) = n.ln a. (4) , para cualquier valor real de n.

Esto se demuestra por inducción para todo número entero natural "n", y luego para todo "n" entero, con (2), y luego para todo "n" racional, utilizando (3). La continuidad del logaritmo hace que una relación cierta en los racionales es también válida en los reales, lo que acaba la prueba.

Esta última relación permite resolver ciertas ecuaciones con la incógnita en el lugar de las potencias: a^x = b tiene como solución x = lnb/lna cuando a ≠ 1, a>0 y b>0.

La palabra logaritmo, que se debe a Napier, está formada de las palabras griegas λογος (logos), que significa razón o cociente, y αριθμoς (arithmos), con el significado de número, y se define, literalmente, como un número que indica una relación o proporción. Se refiere a la proposición que fue hecha por Napier en su teorema fundamental, que establece que la diferencia de dos logaritmos determina la relación de los números a los cuales corresponden, de manera que una serie aritmética de logaritmos corresponde a una serie geométrica de números.

Recordemos algo:

Cuando en potencia: "la base (a) elevada al exponente (b) nos da como resultado igual que multiplicar "b" veces "a"

a^b = a₁. a₂. a₃. a₄ ... a_b = C

ej: 7 ³ = 7.7.7 = 343

Ahora estamos buscando el exponente al que está elevado, número que pusiste en la fórmula para hallar la cantidad de bacterias, para ello nos vemos obligados a buscar una operación matemática que no conocías, el logaritmo.

Por definición :

Log _a C = b únicamente si a ^b = C

                                      (Se lee " logaritmo en base a de C ")

Ya que trabajamos con potencias vamos a descubrir las cuatro propiedades que deberemos aplicar de ahora en adelante en logaritmos.

Resolvamos : 2².2³.2⁴ = 2 ^{(2 + 3 + 4)} = 2 ⁹

El "producto de potencias de igual base" es una propiedad que nos indica que podemos sumar las potencias cuando operamos con multiplicaciones de este tipo. Como trabajamos con potencias al aplicar logaritmos, traslademos esta propiedad al tema que estamos tratando. Si tenemos una multiplicación y aplicamos logaritmos se transformará en este se trasformará en suma.

En cuanto a la división, como las potencias se restan, al aplicar logaritmos se transforman en resta.

Ej. x = a . b  log x = log a + log b

x = a : b  log x = log a – log b

Resolver :(a² )³ = a² . a² . a² = a^{2 + 2 + 2} = a ^{2 . 3} = a ⁶

Resumiendo:(a² )³ = a^{2 . 3} = a⁶

En "potencia de potencia", las potencias se multiplican. Por eso, cuando aplicas logaritmo a un número elevado a una potencia, el exponente pasa multiplicando al logaritmo de la base. En cuanto a la raíz, que es una potencia fraccionaria, la fracción baja para multiplicar al logaritmo. La fracción es una división entre enteros, así que el denominador, en realidad, está dividiendo.

Ej.: x = a ^b  log x = b . log a

Logaritmos de base diez: Cuando escribimos la palabra "log" y no aclaramos de que base se trata, se toma ( por convención o acuerdo) que la base es diez.

En tu calculadora vas a encontrar una tecla que dice log. Esta tecla halla automáticamente el logaritmo de base diez.

Log 2 = .................... (En la mayoría de las calculadoras basta con poner el 2 y después apretar la tecla log )

El resultado es la potencia a la que tienes que elevar a 10 para que te de 2.

10 ^..... = 2

Si tenemos el valor del logaritmo y queremos saber el valor del número al que le hemos efectuado esta operación también utilizamos la calculadora:

log .............. = 0,301029996 Para ello teclea este número en tu calculadora, aprieta Shift o 2ndf, según la calculadora que tengas (suele aparecer con otro color ), después la tecla log.

Cambio de base:

El concepto de cambio de base deriva de la definición de logaritmo.

Pongamos un ejemplo para entender mejor el procedimiento.

x = log₂ 32 (por definición de logaritmo) 2^x = 32 (aplicamos logaritmo, recuerden que sucede con la potencia) x . log 2 = log 32 (despejamos x) x =

Hemos cambiado la base del logaritmo que aplicamos a la operación trasformándola en una división del logaritmo de la base y el logaritmo del número. En este caso, al principio estaba en base dos y la cambiamos a base diez.

Generalizando:

Logaritmo Neperiano o Natural.

Los logaritmos son operaciones matemáticas ampliamente usadas, es por eso que los hallamos en las calculadoras científicas. Entre todos los números que se pueden emplear como base encontramos dos que son los más difundidos:

a) Log (que ya lo hemos visto)

b) La otra base es un valor constante denominado e (2,718281828) cuyo logaritmo, para diferenciarlo del anterior, se denomina logaritmo natural o neperiano. Se escribe ln. Por supuesto que para calcularlo también podemos utilizar la calculadora, basta con teclear el número y luego la tecla ln.

Logaritmos de base diez: Cuando escribimos la palabra "log" y no aclaramos de que base se trata, se toma (por convención o acuerdo) que la base es diez.

En tu calculadora vas a encontrar una tecla que dice ln. Esta tecla halla automáticamente el logaritmo de base e.

Log 2 = ...... ( En la mayoría de las calculadoras basta con poner el 2 y después apretar la tecla ln )

El resultado es la potencia a la que tienes que elevar a e para que te de 2.

e ^..... = 2

Si tenemos el valor del logaritmo neperiano y queremos saber el valor del número al que le hemos efectuado esta operación también utilizamos la calculadora:

ln ........ = 0,301029996 Para ello teclea este número en tu calculadora, aprieta Shift o 2ndf, según la calculadora que tengas ( suele aparecer con otro color ), después la tecla ln.

Por supuesto no vamos a obtener los mismos resultados ya que la base cambió pero el manejo de la calculadora es el mismo.

Función Logarítmica:

Son funciones donde el dominio debe ser mayor que cero, pues no existe el logaritmo de cero ni de un número negativo, el por que de dicha característica reside en el hecho que al elevar una base positiva nunca puede obtenerse como resultado un valor negativo ni menor de cero. Para hallar el dominio de la función conviene establecer una inecuación con la función afectada por el logaritmo (u_(x) > 0) y despejar x. La solución de dicha inecuación será el dominio de la función (siempre y cuando no se encuentre una variable x por fuera del logaritmo).

La imagen de la función abarca a todo el conjunto de los números reales.

f_(x) = ln ( u_(x))

Dominio : u_(x) > 0

Imagen: R. (reales)

Función Exponencial:    Aquí x es la potencia. " f_(x)= a^x "

El dominio de esta función es el conjunto de los números reales, cualquier real puede ser potencia. El problema lo encontramos en las bases, estas deben ser positivas, mayores que uno y distintas de cero. ¿Por qué sólo positivas? Para hallar la respuesta tome un valor negativo para a e intente graficarlo, encontrará varios problemas:

a) todas las potencias pares darán resultados positivos, las potencias negativas conservarán el signo de la base, por lo que tendremos una sucesión de números positivos y negativos pero ningún cero de la función en medio;

b) las potencias fraccionarias cuyo denominador sea par (raíces pares) no tendrán imagen.

Como la base debe ser positiva, la imagen de la función está dada en los reales positivos, incluidos el cero.

Así como la función logarítmica más utilizada es la del logaritmo neperiano (en base e), la función exponencial más usada será la de base e: " f_(x) = e^x "

1) Hallar el logaritmo de:

Rta.: a) 2, b) 3, c) 4, d) 3 e) 5, f) – 1, g) – 2, h) – 3, i) 3, j) 5

2) Resolver aplicando las propiedades de logaritmos.

a) log (5 . 3) =

b) log (2³ . 3) =

c) log (7 : 3) =

d) log (2 . 3 : 4)⁵ =

e)

Rta.: a) log 5 + log 3,  b) 3. log 2 + log 3,  c) log 7 – log 3, d) 5. (log 2 + log 3 – log 4), e) ½ (log 3 + log 5) – log 2.

3) Cambio de base:

a) log₂ 5 =                                    c) log₃ 7 =

b) log₃2 =                                     d) log₅ 24 =

Rta.: a) log 5 / log 2,      b) log 2 / log 3,      c) log 7 / log 3,      d) log 24 / log 5.

4) Ecuaciones:

Rta.: a) 2;         b) – 4 y 4;         c) 2;         d) 2,3 y – 1,3;             e) 2.

Es fundamental comprender la definición de logaritmo.

El logaritmo en base a de un número n, es otro número b, tal que cumple esta ecuación: a^b = n.

Dicho matemáticamente log_a n = b ==> a^b = n.

Supongamos que el logaritmo en base a de un numero n₁ sea b₁ (log_a n₁ = b₁).

Entonces a^b1 = n₁.

Supongamos que el logaritmo en base a de un numero n₂ sea b₂ (log_a n₂ = b₂).

Entonces a^b2 = n₂.

Supongamos que nos piden que calculemos el logaritmo del producto n₁.n₂, y digamos que es b. Si tenemos en cuenta las igualdades anteriores nos queda:

log_a n₁.n₂ = log_a a^b1.a^b2 = b

a^b = a^b1.a^b2 = a^b1+b2

Para que esta igualdad se cumpla b = b1 + b2, por lo tanto el logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

De igual manera se demostraría que el logaritmo de un cociente es la diferencia de los logaritmos del numerador y denominador, y con un poco más de trabajo que el logaritmo de una exponenciación es igual al exponente por el logarítmo de la base.

Ya podemos responder a la pregunta de para qué sirven los logarítmos: Hace no muchos años, no había ordenadores, ni calculadoras, y por lo tanto multiplicar y dividir (y muchísimo mas la exponenciación) cuando los números implicados eran grandes, era una tarea ardua (y casi seguro que se cometían errores). Con los logaritmos las multiplicaciones se convierten en sumas, las divisiones en restas y la exponenciación en multiplicaciones, con lo que se facilitaban mucho las operaciones. Una vez obtenido el resultado se calculaba el antilogaritmo para obtener el numero real.

¿Cómo se cambia de base un logarítmo?

Según la definición de logarítmo, log_a b = c, quiere decir que b = a^c

Tomando logarítmos en base n, a esta última expresión, log_n b = c log_n a, pero c = log_a b. Entonces log_a b= log_n b / log_n a

Orígenes

Los logaritmos se atribuyen a John Napier. Publicó su trabajo en 1614 en el libro Mirifici logarithmorum canonis descriptio (Descripción de la maravillosa regla de los logaritmos).

Napier era un terrateniente escocés (no era por lo tanto, un profesional de las matemáticas).

Napier seguramente estudió las sucesiones de las potencias de un número y se percató que los productos y cocientes de dos números de dichas sucesiones son iguales a las potencias de las sumas o diferencias de los exponentes de dichos números (aⁿ.a^m = a^(n+m)). Pero estas sucesiones no resultaban útiles para el cálculo porque entre dos potencias sucesivas había un hueco muy grande y la interpolación que había que hacer era muy imprecisa.

Para conseguir que los términos de la progresión geométrica formada por las potencias enteras de un número estuviesen próximas, tomó un número muy próximo a 1 (Napier tomó el número 0,9999999 = 1- 10^-7). Para evitar el uso de decimales multiplicó todas las potencias por 10⁷. Entonces cualquier número a = 10⁷(1-10^-7)^b . b sería el logaritmo de a.

Napier llamó al principio a estos número artificiales, pero mas tarde se decidió por la unión de dos palabras griegas logos (razón) y arithmos (número).

Este sistema de cálculo fue aceptado con gran rapidez. Entre los mas entusiastas estaba Henry Briggs. Briggs visitó a Napier en 1615 y entre los dos vieron la posibilidad de hacer algunas modificaciones.

Briggs, en vez de tomar un número muy próximo a 1, partió de la igualdad log 10 = 1 y después fue calculando otros logartimos tomando raices sucesivamente (como la raiz cuadrada de 10 es 3,1622, entonces el logaritmo de 3,1622 es 2).

En 1617 publicó Logarithnmorum chilias prima (Logaritmos de los números 1 al 1000) y en 1624 publicó Arithmetica logarithmica.

Bases de logaritmos más utilizadas.

De lo visto hasta ahora se deduce fácilmente que el logaritmo de un número depende de la base que utilicemos.

Las bases más utilizadas son 10 y e. Los logaritmos de base 10 se llaman logaritmos decimales y los de base e neperianos o naturales.

El logaritmo decimal de un número (por ejemplo log 3510 = 3,545307...) tiene una parte entera y una parte decimal. A la parte entera (en nuestro ejemplo 3) se le llama característica del logaritmo y a la parte decimal (en nuestro ejemplo 545307) mantisa del logaritmo.

Construcción de una escala logarítmica

Una escala logarítmica está construida por décadas.

1) Determinar la longitud de una década, por ejemplo 10o mm. Esto nos indicará que cada década nos demandará un espacio en la hoja de 100 mm, el espacio total quedará determinado por la cantidad de décadas, dos serán 200 mm, tres 300 mm, etc.

2) Calcularemos la escala logarítmica propiamente dicha de esta manera:

3) A continuación marcaremos los puntos en la escala con los valores calculados para la primer década

Para 1 = será el origen de la escala (0 mm), 2 a 30,1 mm, 3 a 47,7 mm del origen, 4 a 60,2 mm del origen y así sucesivamente hasta completar la primera década.

4) Para la segunda década el origen corresponderá a log 10, log 20, log 30, etc mientras que para la tercera log 100, log, 200 y así sucesivamente.

Puede suceder que para resolver logaritmos utilicemos la tradicional tabla de logaritmos o la calculadora, aqui se hace necesario advertir sobre los resultados.

Por tabla tendremos que tener en cuenta que el logaritmo se compone de dos números, la característica que puede ser positiva o negativa y la mantisa que siempre será positiva. Para los casos en que el número del cual queremos hallar su logaritmo es menor a 1 la característica será negativa y la mantisa positiva, resultado que no ha de coincidir con el obtenido en una calculadora, ya que serán tanto la característica como la mantisa negativos.

Para transportar el logaritmo obtenido por tabla al obtenido por calculadora, a la característica se la debe reducir en un número, por ejemplo si ha sido -4 nos quedará -3, luego restamos a -1 el valor obtenido de la mantisa por tabla, siendo ese número el valor que acompañará al -3 luego de la coma que coincidirá al obtenido con la calculadora.

En caso de no disponer de una tabla o calculadora en un momento dado, podemos aproximar al valor del logaritmo de un número calculando la característica obviando el valor de la mantisa, para ello procederemos de la siguiente manera:

Para los números mayores a 1 se cuentan la cantidad de cifras y se le resta uno, por ejemplo el log 4235 será aproximadamente igual a 3.

Para los números menores a 1 se cuentan la cantidad de ceros y se le resta uno, por ejemplo el log 0,0003 será aproximadamente igual a -3.

Volvamos a pasar brevemente por los logaritmos

A las operaciones, ya conocidas, de Adición, Sustracción, Multiplicación, División, Potenciación y Radicación, añadimos una nueva que llamamos Logaritmación.

Los logaritmos fueron introducidos en las matemáticas con el propósito de facilitar, simplificar o incluso, hacer posible complicados cálculos numéricos. Utilizando logaritmos podemos convertir : productos en sumas, cocientes en restas, potencias en productos y raíces en cocientes.

Se llama logaritmo en base a del número x al exponente b al que hay que elevar la base para obtener dicho número.

que se lee : "el logaritmo en base a del número x es b" , o también : "el número b se llama logaritmo del número x respecto de la base a " .

Como podemos ver, un logaritmo no es otra cosa que un exponente , hecho que no debemos olvidar cuando trabajemos con logaritmos.

La constante a es un número real positivo distinto de 1, y se denomina base del sistema de logaritmos. La potencia ab para cualquier valor real de b solo tiene sentido si a > 0.

La función logarítmica (o función logaritmo) es una aplicación biyectiva del conjunto de los números reales positivos, sin el cero, en el conjunto de los números reales :

Es la función inversa de la función exponencial.

La operación logaritmación (extracción de logaritmos, o tomar logaritmos) es siempre posible en el campo real cuando tanto la base a del logaritmo como el número x son positivos, (siendo, además, a distinto de 1)

Propiedades :

Logaritmos Decimales :

Se llaman logaritmos decimales o vulgares a los logaritmos que tienen por base el número 10. Al ser muy habituales es frecuente no escribir la base.

Logaritmos Neperianos :

Se llaman logaritmos neperianos, naturales o hiperbólicos a los logaritmos que tienen por base el número e.

Cambio de Base :

Antilogaritmo :

Es el número que corresponde a un logaritmo dado. Consiste en el problema inverso al cálculo del logaritmo de un número.

es decir, consiste en elevar la base al número resultado :

Cologaritmo :

Se llama cologaritmo de un número N al logaritmo de su recíproco.

Equivalencias útiles :

Ecuaciones Logarítmicas :

Aquella ecuación en la que la incógnita aparece sometida a la operación de logaritmación.

La igualdad de los logaritmos de dos expresiones implica la igualdad de ambas. (principio en el que se fundamenta la resolución de ecuaciones logarítmicas, también se llama "tomar antilogaritmos")

Frecuentemente se resuelven aplicando las propiedades de los logaritmos antes enunciadas, en orden inverso, simplificando y realizando transformaciones oportunas.

Sistemas de Ecuaciones Logarítmicas :

Se llaman sistemas de ecuaciones logarítmicas a los sistemas de ecuaciones en los que la/s incógnita/s está sometida a la operación logaritmo.

Se resuelven como los sistemas ordinarios pero utilizando las propiedades de los logaritmos para realizar transformaciones convenientes.

Características útiles :

Si a > 1
Los números menores que 1 tienen logaritmo negativo
Los números mayores que 1 tienen logaritmo positivo

Si 0 < a < 1
Los números menores que 1 tienen logaritmo positivo
Los números mayores que 1 tienen logaritmo negativo

Para el estudio de las líneas de transmisión, las mismas se modelizan como redes de dos puertos, o cuadripolos, resultando muy importante comparar el cambio de magnitud entre las señales de entrada y de salida de la línea, analizando la función de atenuación que introduce la misma.

Esta perturbación se manifiesta como una pérdida de amplitud de la señal y una alteración de la fase relativa de la misma (salvo en redes puramente resistivas), siendo generalmente ambas una función de la frecuencia.

Para cuantificar esta atenuación entre los módulos de las tensiones, o de las intensidades, de salida y de entrada de la línea, originalmente se definió el neper como el logarítmo natural de su cociente respectivo; y por lo tanto resultaba ser un número adimensional.

Atenuación de tensión en neper: ln (Vsal / Vent)

Atenuación de corriente en neper: ln (Isal / Ient)

El neper no es, en general, una unidad que se use para medir relación de potencias. Para tal fin se ha definido otra unidad denominada Bell.

Por ejemplo, si la potencia de entrada es 10 veces la potencia de salida, se dice que la atenuación es de un Bell. Si la potencia de entrada es 100 veces la potencia de salida, la atenuación es de dos Bell. Entonces, la definición general, empleando logaritmos de base diez, resulta:

Atenuación de potencia en Bell: log (Psal / Pent)

Pero como el Bell es una unidad muy grande para uso práctico, se suele emplear un submúltiplo denominado deciBell (dB), que resulta ser la décima parte de aquel.

Atenuación de potencia en deciBell: 10 log (Psal / Pent)

Nótese que si la potencia de entrada es igual a la potencia de salida, la atenuación es de 0 dB. Resulta de interés examinar algunos valores ilustrativos:

 

Como puede observarse, si la razón de potencias se duplica, el valor en deciBell se incrementa en cerca de 3 dB, mientras que los dB de los números recíprocos difieren sólo en el signo.

Además puede establecerse la siguiente regla práctica: los deciBell se suman, en tanto las respectivas relaciones se multiplican. 

En general, la razón de dos valores cualesquiera de potencia puede medirse apropiadamente en deciBell. En efecto, esta idea que nació para líneas de transmisión se ha ido extendiendo a otros campos de aplicación. Por ejemplo, pueden ser las potencias de entrada y salida de un servomecanismo, de un equipo de audio, de un sistema de control, etcétera. Así puede hablarse de la ganancia en deciBell de un amplificador o de las pérdidas en deciBell de un cable. 

Por otro lado, como en el caso particular de las redes simétricas de dos puertos terminadas en su impedancia característica se cumplen las siguientes relaciones entre los cocientes de los módulos de potencias, tensiones y corrientes:

(Psal / Pent ) = (Vsal / Vent )² = (Isal / Ient )²

Entonces se tiene:

Atenuación en deciBell: 10 log (Psal / Pent) = 10 log (Vsal / Vent)² = 20 log (Vsal / Vent)

10 log (Psal / Pent) = 10 log (Isal / Ient)² = 20 log (Isal / Ient)

A pesar de la restricción indicada, este último resultado se suele aplicar más ampliamente: una relación de potencias en deciBell puede determinarse de una relación de tensiones o de corrientes suponiendo que las potencias son proporcionales a los cuadrados de las tensiones o corrientes en cuestión. Esto es estrictamente cierto si las tensiones o corrientes están alimentados a impedancias iguales, pero no de otra manera.

20 log (Vsal / Vent) + 10 log (Rent / Rsal)

20 log (Isal / Ient) + 10 log (Rsal / Rent)

Por otro lado, la potencia (no la razón de potencias) se mide algunas veces en dBm. Esta es una expresión de deciBell de la relación entre la potencia en cuestión y un valor de referencia que se fija en 1 mW. 

Potencia en dBm: 10 log (Psal / 0,001 W)

Una ventaja de utilizar una unidad logarítmica como el deciBell es que la pérdida total de un determinado conjunto de redes conectadas en cascada resulta ser igual a la suma de las pérdidas de las redes individuales. Asimismo, cuando se utiliza en el análisis de sistemas realimentados de control, las funciones de transferencia respectivas generalmente contienen productos y cocientes, que al operarse en dB se transforman en adiciones y sustracciones respectivamente.

Como se indicó anteriormente, el uso de los deciBell se generalizó a distintos campos de la ciencia y de la técnica. Uno de los casos mas conocidos es el de la medición de niveles sonoros.

Para analizar tal empleo, resulta conveniente recordar algunos conceptos atinentes. En principio digamos que la energía sonora es directamente proporcional al cuadrado del producto de la amplitud por la frecuencia de la onda de sonido. 

Además se denomina flujo de energía sonora a la energía que por unidad de tiempo atraviesa la superficie que limita un volumen dado; y se define como intensidad del sonido en una dirección determinada a la densidad del flujo de energía sonora (flujo por unidad de área) que atraviesa una superficie normal a dicha dirección.

El oído humano puede percibir sonidos en la banda que va de los 20 a los 20.000 Hz aproximadamente, y es un órgano muy sensible. Por ejemplo, en la gama de los 2500 Hz puede percibir sonidos cuya intensidad es tan solo de 10^(-12) W/m² (ó 10^(-16) W/cm²) y la intensidad puede aumentar 10^(12) veces sin que la sensación llegue a ser dolorosa. 

Siendo tan grande la variación posible de la intensidad, para su medida conviene establecer una escala logarítmica. Para tal fin se recurre al concepto de nivel de intensidad en deciBell, utilizando un valor base que corresponde aproximadamente a la intensidad del menor sonido audible:

Nivel de intensidad sonora en deciBell: 10 log (Is / Is0)

Donde : Is0 = 10^(-12) W/m² 

Entonces el valor inferior de la banda indicada anteriormente corresponde a un nivel de intensidad sonora de 0 dB y el valor superior (1 W/m²) corresponde a un nivel de intensidad de 120 dB.

La intensidad de una onda sonora puede medirse con instrumentos, sin intervención del oído humano. Sin embargo, la experiencia indica que la sensación sonora subjetiva, o sonoridad, no puede medirse directamente con aparatos, y que tal sensación no crece directamente con la intensidad del movimiento vibratorio, sino mas bien, proporcionalmente con su logaritmo. 

Por tal motivo, la sonoridad resulta proporcional al nivel de intensidad en deciBell, por lo que para la medición del nivel de sonoridad se ha definido el fon, para un tono puro de 1.000 Hz, diciéndose que la sonoridad aumenta en un fon cuando el nivel de intensidad sonora aumenta en un deciBell.

Extendiendo estos conceptos, internacionalmente se han normalizado los siguientes términos:

a) Nivel de intensidad sonora IL

IL = 10 log (Is / Is0) Donde Is0 = 10^(-12) W/m² 

b) Nivel de potencia acústica de una fuente SWL

SWL = 10 log (Ws / Ws0) Donde Ws0 = 10^(-12) W 

c) Nivel de presión sonora SPL

SPL = 10 log (Ps / Ps0)² = 20 log (Ps / Ps0) Donde Ps0 = 2 10^(-5) Pa (umbral de audición)

Como para ondas planas se cumple:

(Ps / Ps0)² = (Is / Is0) 

Entonces: IL=SPL

Aunque la igualdad se cumple únicamente para ondas planas, en general, los valores de IL y SPL pueden considerarse aproximadamente iguales.

Además de lo indicado, la percepción subjetiva del sonido por el oído depende de la frecuencia del mismo, según curvas isofon que varían de individuo a individuo. 

Por tal motivo, surgió la necesidad de introducir filtros de compensación en los instrumentos de medición de niveles sonoros, para responder a distintas curvas características normalizadas internacionalmente, que se han denominado como escalas A, B, C y D.

Así los deciBell A (dBA) corresponden a mediciones hechas con la escala A, que se recomienda para niveles de sonido bajos (menores de 55 dB).

Otro uso muy familiar del concepto de deciBell es aquel que se aplica en instalaciones de antenas. Así el mérito de una antena suele expresarse como ganancia de la misma.

La ganancia en deciBell se toma a partir de la razón de potencias entre la antena en cuestión y otra que se toma como patrón de referencia, para que ambas produzcan resultados similares. 
Si las antenas son transmisoras deberán producir las mismas intensidades de campo en una misma antena receptora, mientras que si las antenas son receptoras deberán estar sumergidas dentro de la misma intensidad de campo.

Entonces, la ganancia de una antena dada en deciBell resulta de aplicar la expresión:

Ganancia de una antena en deciBell: 10 log (Ps / Ps0)

Donde Ps0 es la potencia de la señal en un dipolo plegado simple. 

Sin embargo es mas común que la ganancia se calcule a partir de las tensiones en las antenas (con igual impedancia), usando la fórmula correspondiente:

Ganancia de una antena en deciBell: 20 log (Vs / Vs0)

Por ejemplo, si un dipolo usado como antena receptora produce una tensión de 1 mV a la entrada del televisor, mientras que una antena directiva de alta ganancia produce 4 mV; entonces la ganancia de esta última resulta de 12 dB.


El multímetro analógico o Volt-Ohm-Miliamperímetro (VOM) es un instrumento de prueba combinado con alcances y circuitos internos para medir básicamente tensión de CC, tensión de CA, resistencia e intensidad de CC, constando esencialmente de un instrumento de bobina móvil y un conmutador que conecta dicho instrumento en el circuito correcto para una medición determinada.

Generalmente, los multímetros suelen incluir otras aplicaciones, como probadores de transistores, de continuidad, de pilas, medición de capacidad, de temperatura, etcétera. 
Sin perjuicio de lo anterior, difícilmente se encuentre un multímetro que no posea la correspondiente escala graduada en deciBell, pero paradójicamente, suelen ser pocos los usuarios que saben aplicar prácticamente esta función del instrumento; que por ejemplo puede utilizarse para el ajuste de receptores y amplificadores.

La escala de deciBell surge de la aplicación de la ecuación que se presenta a continuación, tomando un valor de referencia Pref de 1 mW. 

Potencia en dBm: 10 log (Psal / Pref )

De esta manera, por ejemplo, 20 dBm corresponde a 100 mW. 

Pero como el multímetro no mide potencias, se debe adaptar esta expresión para que pueda manejar tensiones. 

Para no introducir ecuaciones muy complejas, daremos una explicación simplificada. La resistencia Rref se ha normalizado en 600 Ohm, por ser un valor típico en telecomunicaciones. Entonces se tiene:

Potencia en dBm: 10 log (Psal / Pref ) = 10 log [(V²sal / Rsal ) / (V²ref / Rref )] =
= 10 log [(V²sal / V²ref) . (Rref / Rsal)] = 
= 10 log (V²sal / V²ref) + 10 log (Rref / Rsal)


Para Rsal = Rref
10 log (Psal / Pref ) = 10 log [V²sal / V²ref ] =
= 20 log [Vsal / Vref ] 

Para 1 mW y 600 Ohm resulta Vref = 0,7746 V, que es la tensión correspondiente a 0 dBm.

Por todo lo anterior, la escala de deciBell puede verse como una forma distinta de trazar la escala de tensiones para aplicarla en redes y circuitos que cumplan con las exigencias indicadas.

Además, como los multímetros poseen varios alcances de tensiones, también se obtienen varias escalas de deciBell, en las cuales, a los valores leídos directamente deben sumarse los valores indicados en la tabla que trae el instrumento para cada uno de los distintos alcances.

En circuitos con otros valores resistivos, a las lecturas que presenta el multímetro, debe adicionarse el factor de corrección + 10 log (Rref / Rsal) correspondiente.

Sin embargo, no en todos los casos será necesario realizar las correcciones en las mediciones. Por ejemplo, cuando se está ajustando un amplificador con el decibelímetro utilizado como indicador de salida, no interesa el valor absoluto de la potencia de salida, sino como se modifica esa salida en función de los ajustes realizados.
Tampoco se necesitarán correcciones cuando se comparen dos amplificadores que tienen iguales resistencias de carga.

En algunos casos pueden intercalarse transformadores para adaptar impedancias y evitar la realización de correcciones.

De todas maneras, digamos finalmente que los valores que se pueden medir en la práctica se ven influenciados por una serie de factores que impiden obtener resultados con gran exactitud. Por lo tanto, los resultados de las mediciones siempre deben someterse a un análisis crítico para identificar las posibles fuentes de error, y eventualmente replantear la forma de ejecución de los ensayos. 

Asimismo no debe olvidarse que como algunas mediciones se realizan mediante la inyección de una determinada tensión contra tierra, debe efectuarse una manipulación cuidadosa de los conductores y puntas de pruebas pertinentes..